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Stability of stochastic dynamical systems

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Lohmann, G. (1992): Stability of stochastic dynamical systems , Diplom thesis, Philipps-University Marburg.
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Abstract:

In dieser Arbeit soll die Stabilität dynamischer Systeme mit '' Rauschen '' untersucht werden. Die Stabilität eines Systems ist ein wichtiger Begriff, der das qualitative Langzeitverhalten einer Dynamik beschreibt. Rauschen ist in der Regel ein unerwünschter Effekt in der Physik, da es die reproduzierbaren physikalischen Ergebnisse ''verschmiert''. Verrauschte Systeme haben etwas mit Unsicherheit zu tun, die eine inhärente Systemeigenschaft ist oder durch die eine nicht näher beschreibbare Einwirkung einer Umgebung des Systems formuliert wird.Der Prototyp eines Rauschprozesses ist die sogenannte Brownsche Bewegung. Man geht dabei von der Vorstellung aus, daß sich schwere und leichte Teilchen in ein Gefäß befinden, die Konzentration der schweren Teilchen soll als sehr klein angenommen werden, so daß praktisch keine Stöße unter den schweren Teilchen vorkommen. Der Impuls eines schweren Teilchens ändert sich durch den Stoß mit ein leichten Teilchen wenig. Im Vergleich zur Zeitskala der Stöße ist der Impuls der großen Teilchen eine sehr langsam veränderliche Größe. Man wird also folgendes beobachten:Die schweren Teilchen werden ihren Ort im wesentlichen beibehalten, aber durch die leichten Teilchen $\delta-$förmige Impulse zu spüren bekommen. Das schwere Teilchen bewegt sich deterministisch, verschiedene Realisierungen dieser Bewegung sehen unterschiedlich aus. Nur einige Eigenschaften des Ensembles (der Gesamtheit gleichartiger Systeme), wie Mittelwert und Standardabweichung usw. können als Systemeigenschaft angesehen werden. Diese statistischen Eigenschaften charakterisieren das System, da sie bereits die wesentlichen Merkmale des Systems beinhalten. Dieser Sachverhalt ist typisch für statistische Systeme. Dieses wird in Kapitel 1, insbesondere in Abschnitt 1.2, näher erläutert.Es ist oft so, daß weniger Informationen (z.B. Meßdaten) über ein System verfügbar sind, als man bräuchte, um die gesamte Dynamik des Systems zu kennen und Vorhersagen zu machen. Man ist daher auf eine stochastische Beschreibung notgedrungen angewiesen. Die wichtigen Charakteristika der Dynamik sollen durch die stochastische Modellierung trotz der fehlenden Information wiedergegeben werden. In dieser Situation ist man nicht nur in der Physik, auch in der Ökologie, Ökonomie, Meteorologie usw. sind stochastische Modelle den Probl en oft angemessener als deterministische, da sie die Verstümmelungen der Dynamik auf wenige Freiheitsgrade berücksichtigen.Als Beispiel für ein System aus Physik und Meteorologie kann das in Kapitel 6 behandelte Rayleigh-Bénard-Problem mit stochastischen Randbedingungen dienen. Dort wird der Einfluß von extern Rauschen auf die Stabilität seigenschaften des Systems behandelt. Die Stabilitätsverhältnisse dieses Systems, das durch Galerkinapproximationen auf die Dynamik von wenigen Moden reduziert wird, ändern sich durch stochastische Einwirkungen auf die Randbedingungen.Bei stochastischen Modellen muß unterschieden werden zwischen:Deterministischen Systemen mit zufälligen Anfangsbedingungen.Frage: Wie entwickelt sich eine Anfangsverteilung im Laufe der Zeit?Die Stabilität der Gleichgewichtsdichte kann durch Analyse eines deterministischen Systems gezeigt werden (Bell). Deterministischen Systemen mit zeitunabhängigen zufälligen Parametern. Hier kann der Prozeß realisierungsweise, d.h. für jeden Zufallsparameterwert, deterministisch analysiert werden (Bunke, Kozin).Außerdem können Kombinationen der beiden Fälle auftreten: Ein System mit der Dynamik $ \dot x = f (x,t;y(t)) $, wobei $y(t) $ ein Prozeß mit zufälligen Parametern ist. Die Anfangsbedingungen von $x$ und $y$ haben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Störprozeß wirkt zeitabhängig auf das System, z.B. Diffusionsvorgänge. Eine häufige Annahme ist hier eine Gedächtnisfreiheit ( Markoveigenschaft) des Prozesses. Mit der Annahme der Gedächtnisfreiheit hat man noch ein einfaches Ursache-Wirkung-Prinzip. Es wird sich in Abschnitt 2.3 zeigen, daß daraus die Existenz einer dynamischen Halbgruppe von Maßen folgt.Ich beschränke die Analyse auf zeitabhängige Zufallsprozesse, die kontinuierlich und stetig in der Zeit sind. Den betrachteten Systemen liegen Dynamiken der Art \dot x = f(x,t) + \sigma(x,t) \xi_t(\omega) \quad x_0=c , \quad x \in \Rd zugrunde, $ \xi_t$ ist ein noch näher zu spezifizierender Zufallsprozeß.$\xi_t$ wird oft als ''Gaußisches weißes Rauschen'' angenommen, was eine starke mathematische Vereinfachung eines physikalischen Zufallsprozesses darstellt. Die Analyse des Lösungsprozesses wird durch diese Annahme sehr vereinfacht, in den Abschnitten 3.7, 3.11 und 6.7 wird darauf näher eingegangen.Ausgangspunkt dieser Arbeit war die Frage, wie die Stabilität eines stochastischen Prozesses angemessen formuliert werden kann. Seit den 60er Jahren gibt es eine große Anzahl von Veröffendlichungen zu dieser Fragestellung. Verschiedene Autoren (Has'minskii, Kozin, Kushner) versuchten, Überblicke über stochastische Stabilität zu geben. Es soll versucht werden, neuere Entwicklungen zur stochastischen Stabilität aus den Bereichen der Ergodentheorie, Martingaltheorie und Lyapunovtheorie mit Berüksichtigung physikalischer Fragestellungen zusammenzustellen.Da man sehr unterschiedliche Stabilitätsbegriffe in stochastischen Systemen vorfindet, ist es notwendig, die in der Literatur vorhandenen Konzepte gegenüberzustellen, zu erweitern und zu vergleichen. Es zeigt sich, daß die in der Literatur benutzten Stabilitätsbegriffe sorfältig interpretiert werden müssen und nicht ohne weiteres zu vergleichen sind. Im stochastischen Kontext ist die Palette der Stabilitätsbegriffe vielfältiger als im deterministischen. Es werden die qualitativen Konzepte, die sich im deterministischen Fall bewährt haben, wie etwa Lyapunovstabilität, Linearisierung, Bifurkation, Lagrangestabilität und Rekurrenzeigenschaften übertragen und durch andere Fragestellungen, die im Stochastischen hinzukommen, ergänzt. Wegen der Fülle der Literatur auf diesem Gebiet erwies es sich als zweckmäßig, vor den eigentlichen physikalischen Analysen die Begriffe zur stochastischen Stabilität zu klären und die wichtigsten mathematischen Sätze erläuternd zu zitieren. Dadurch wird die spätere Behandlung der konkreten physikalischen Fragestellungen von mathematisch Beiwerk entlastet und ein allgemeiner Rahmen gegeben.Der Gang der Untersuchung und damit der Aufbau der Arbeit ergibt sich aus folgenden Überlegungen zur Methodik:In Kapitel 1 wird erläutert, warum in der Physik nichtdeterministische Modelle relevant sind. Insgesondere geht es um die allg einen Probl e einer konsequenten Beschreibung von Vielteilchensystemen. Zwischen der makroskopischen und mikroskopischen Beschreibungsebene liegt das weite Feld der sogenannten mesoskopischen Modellierung. Diese mesoskopische Beschreibung geht von den phänomenologischen Gleichungen der Makrophysik (z.B. Thermodynamik, Hydrodynamik) aus, berüksichtigt aber die Schwankungen in dies System, die aufgrund der statistischen Natur von Vielteilchensystemen vorhanden sind.Die verschiedene Zeitskalen, die beim Übergang zwischen den Beschreibungsebenen zu beachten sind, werden sich als wichtige Einflußgrößen erweisen. Um den Gültigkeitsbereich der Beschreibung mit (markovschen) Stochastische Differentialgleichungen (oder: Langevingleichungen) in der Statistischen Physik einzugrenzen, werden verschiedene Übergänge, die in der Literatur behandelt werden, zusammengefaßt und in einer übersichtlichen Form veranschaulicht.Der Stand der Literatur zeigt, daß die statistische Betrachtungsweise von Vielteilchensystemen einen geeigneten Weg darstellt, Schwankungen von relevanten makroskopischen Größen zu beschreiben. Ein wichtiges Analyseintrument bietet dabei die in letzten Jahren immer weiter verfeinerte Theorie der Stochastische Differentialgleichungen. Zur mathematischen Fundierung der physikalischen Betrachtungen wird in Kapitel 2 eine sehr kurze Einführung in die Theorie der stochastischen Prozesse gegeben, insbesondere unter dem Aspekt der stochastischen Stabilität. In Kapitel 3 wird der stochastische Prozeß von unterschiedlichen Blickwinkeln (Entwicklung von Maßen, Dichten, Elementen des $ \Rd $ usw. ) betrachtet, diese Betrachtungen spielen für die Stabilitätsuntersuchung eine wesentliche Rolle, da sie ganz unterschiedliche Stabilitätsaussagen induzieren.Im 3. Kapitel werden die Konzepte von stochastischer Stabilität vorgestellt. Hinter den verschiedenen Konzepten stehen Fragestellungen von verschiedenen Objekten:Stabilitäts- und Instabilitätsaussagen von Bereichen im PhasenraumStabilität von Trajektorien im Raum der zulässigen PfadeStabilität von Maßen bzw. DichtenStabilität von MomentenEs soll versucht werden, anhand dieser Überlegungen den Begriff der stochastischen Stabilität zu fassen. Es werden die Konsequenzen und Nützlichkeit für physikalische Systeme diskutiert. Verschiedene Stabilität sdefinitionen können zu ganz unterschiedlichen physikalischen Aussagen führen. Dieses wird an den in den Kapiteln 3 und 6 behandelten Systemen bei dem Begriff ''Bifurkation'' deutlich.In den folgenden Kapiteln 4, 5 und 6 werden konkrete Dynamiken auf Stabilität untersucht. Die Konzepte, die vorher im allg einen Rahmen vorgestellt wurden, bewähren sich an den Stabilität sanalysen der untersuchten Dynamiken. Nichtlineare stochastische Oszillatoren wurden in der Literatur vielfältig behandelt. Die Ergebnisse werden in Kapitel 4 zusammengestellt und durch eigene ergänzt. Im 5. Kapitel werden die Aspekte der nichtlinearen Stabilität sanalyse und der Bifurkation anhand der Dynamik eines parametrisch verrauschten Lorenzmodells untersucht. Anhand dieser Dynamik wird ex plarisch gezeigt, wie eine lokale und globale Stabilitätsanalyse in einer stochastischen Dynamik durchgeführt werden kann.In Kapitel 6 wird der Einfluß von stochastischen Randbedingungen auf das Rayleigh-Bénard-Problem untersucht. Auch dort stellt sich herraus, daß eine saubere Definition von Stabilität, insbesondere von Bifurkationen, unerläßlich für eine physikalische Interpretation ist. Dort soll der Umschlag zwischen Wärmeleitung und Konvektion betrachtet werden. Es stellt sich herraus, daß äußere Schwankungen der Temperaturdifferenz die Wärmeleitung stabilisieren. Diese Analyse stimmt qualitativ mit den in Davis (1976) zitierten Ergebnissen überein, wo zeitlich periodische Schwankungen der Parameter untersucht werden. In der deterministischen Analyse ist mit der Boussinesq-Approximation der Übergang zwischen Wärmeleitung und Konvektion nur von dem einen Parameter, der Rayleighzahl, abhängig. Als Parameter im stochastischen Modell bestimmen die drei Parameter Rayleighzahl, Rauschstärkezahl und Prandtlzahl den Übergang.

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